（算法）求1到1亿间的质数或素数

题目：

求1到1亿间的质数或素数

思路：

什么是质数？

质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数（质数）整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。（来自百度百科）

方法1：

遍历1到1亿间的所有数，然后逐个判断是否为质数；

如何判断一个数为质数？根据质数的定义，判断该数是否能被1和它本身之外的数整除，如果是，则不是质数，否则为质数；一般只需判断是否能被2到sqrt(num)的所有数整数。

方法2：

上述方法时间复杂度较高，对于1亿个数而言，不太实际。

其实当我们遍历到某个数（如：n）的时候，所有n的倍数的数字均不为质数，后续我们无需对这个数再做判断的操作，这样可以减少很多不必要的计算；

而且，我们可以从逆向思维来考虑，出了各个n的倍数的数字之外，其他的就是质数，于是少了判断是否为质数的过程。

现在需要做的就是将这些提前判断为非质数的数字保存起来，可以通过一个bool数组，如果某个数字为非质数，则在对应下标的数组位置做标志，以供后续判断。

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)

注意：

这里处理的是一亿个数字，因此需考虑机器的内存问题，32位机器的int表示范围为0~2^32-1即4394967295，能表示一亿，一亿个int需要的内存为400M。

(下面的代码建立在内存足够的情况下)

代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const unsigned int MAX_NUM=100;

void Prime(vector<bool> &numbers,vector<int> &primes){
    for(unsigned int i=2;i<=MAX_NUM;i++){
        if(numbers[i]==false){
            primes.push_back(i);
            // multiple of i
            for(unsigned int j=i;j<=MAX_NUM;j+=i)
                numbers[j]=true;
        }
    }
}


int main()
{
    vector<bool> numbers(MAX_NUM,false);
    vector<int> primes;

    Prime(numbers,primes);

    vector<int>::iterator it=primes.begin();
    for(;it!=primes.end();it++){
        cout<<*it<<endl;
    }

    return 0;
}