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【算法导论】学习笔记——第6章堆排序

news 来源：原创 2024/6/2 10:27:35

堆这个数据结构应用非常广泛，数字图像处理的算法里也见过。似乎记得以前老师上课说需要用树结构实现堆排序，看了一下算法导论才明白其精髓。堆虽然是一棵树，但显然没必要非得用树结构实现堆排序。堆排序的性质很好，算法时间复杂度为O(nlgn)。

1. 堆排序的简要说明。
二叉堆可以分为两种形式：最大堆和最小堆。
在最大堆中，最大堆性质是指除了根以外的所有结点i都要满足：
　　A[PARENT(i)] >= A[i]；
在最小堆中，最小堆性质是指除了根以外的所有结点i都要满足：
　　A[PARENT(i)] <= A[i]。
关于堆排序的算法实现，有如下基本过程需要了解：
（1）MAX_HEAPIFY过程：其时间复杂度为O(lgn)，它是维护最大堆性质的关键；
（2）BUILD_MAX_HEAP过程：具有线性时间复杂度，功能是从无序的输入数据数组中构造一个最大堆；
（3）HEAPSORT过程，其时间复杂度为O(nlgn)，功能是对一个数组进行原址排序；
（4）MAX_HEAP_INSERT、MAX_EXTRACT_MAX、HEAP_INCREASE_KEY和HEAP_MAXIMUM过程：时间复杂度为　　　O(lgn)，功能是利用堆实现一个优先队列。
堆结构定义如下：

 1 #define PARENT(i)   (i>>1)
 2 #define LEFT(i)     (i<<1)
 3 #define RIGHT(i)    (i<<1|1)
 4 #define MAXN        105
 5 
 6 typedef struct {
 7     int buf[MAXN];
 8     int length;
 9     int size;
10 } Heap_t;

2. 维护堆的性质。
MAX_HEAPIFY是维护最大堆性质的重要过程。代码实现如下：

 1 void MAX_Heapify(Heap_t *A, int i) {
 2     int l = LEFT(i);
 3     int r = RIGHT(i);
 4     int largest;
 5     int tmp;
 6 
 7     if (l<=A->size && A->buf[l]>A->buf[i])
 8         largest = l;
 9     else
10         largest = i;
11     if (r<=A->size && A->buf[r]>A->buf[largest])
12         largest = r;
13     if (largest != i) {
14         tmp = A->buf[i];
15         A->buf[i] = A->buf[largest];
16         A->buf[largest] = tmp;
17         MAX_Heapify(A, largest);
18     }
19 }

也可采用非递归形式实现，代码如下：

 1 void MAX_Heapify(Heap_t *A, int i) {
 2     int l, r;
 3     int largest;
 4     int tmp;
 5 
 6     while (i+i <= A->size) {
 7         l = LEFT(i);
 8         r = RIGHT(i);
 9         if (l<=A->size && A->buf[l]>A->buf[i])
10             largest = l;
11         else
12             largest = i;
13         if (r<=A->size && A->buf[r]>A->buf[largest])
14             largest = r;
15         if (largest != i) {
16             tmp = A->buf[i];
17             A->buf[i] = A->buf[largest];
18             A->buf[largest] = tmp;
19             i = largest;
20         } else {
21             break;
22         }
23     }
24 }

3. 建堆
BUILD_MAX_HEAPIFY描述了建堆的主要过程，建堆时仅需针对非叶子结点调用MAX_HEAPIFY过程。建堆的时间复杂度为O(n)。

1 void Build_MAX_Heap(Heap_t *A) {
2     int i;
3 
4     A->size = A->length;
5     for (i=A->length>>1; i>=1; --i) {
6         MAX_Heapify(A, i);
7     }
8 }

有关6.3-3的证明，对于任何包含n个元素的堆中，至多有ceil(n/2^(h+1))个高度为h的点。
证明：
（1）先证叶子结点（高度h=0）满足该结论，即至多有ceil(n/2^1)个叶子结点。令叶子结点的下标为i，i属于[1,n]，
则2*i>n，i<=n，即n/2 < i <= n。因为i为整数，因此floor(n/2) < i <= n，所以N(h=0) <= floor(n) - floor(floor(n/2)) (《具体数学》3.12)，因此N(h=0) <= n - floor(n/2)，又因为floor(n/2)+ceil(n/2) = n，所以N(h=0) <= ceil(n/2)，余下点的数目n - N(h=0) >= floor(n/2)；
（2）假设高度为k-1的子树均满足上述结论，采用数学归纳法证明高度为k的子树满足上述结论。
因此，易知k<=H(H为树的高度，H=floor(lgn))。假设，高度为k的点下标为i。因为N(h=0)时，N(h=0)=ceil(n/2)；将原叶子结点全部去掉，子数的高度势必均减1，因此N(h=k) = N(hh = k-1) <= ceil(nn/2^h)，nn = n - ceil(n/2) = floor(n/2)，因此N(h=k) = <= ceil(floor(n/2)/2^h)，因为floor(n/2) <= n/2，因此N(h=k) <= ceil(n/2/2^h)，所以N(h = k) <= ceil(n/2^(h+1))。

4. 堆排序算法。
初始时，堆排序算法利用BUILD_MAX_HEAPIFY过程建立初始的最大堆，此时，最大元素一定处在根结点，交换根结点与A[n]，并重新建立堆（此时堆大小需要减1），我们即将最大元素置于数组最末处进行孤立。不断重复此过程，直至仅有两个元素的堆为止，即可得到有序的数组。代码实现如下：

 1 void HeapSort(Heap_t *A) {
 2     int i, tmp;
 3 
 4     Build_MAX_Heap(A);
 5     for (i=A->length; i>=2; --i) {
 6         tmp = A->buf[1];
 7         A->buf[1] = A->buf[i];
 8         A->buf[i] = tmp;
 9         --A->size;
10         MAX_Heapify(A, 1);
11     }
12 }

5. 优先队列。
优先队列是堆这种数据结构的典型应用。优先队列是一种用来维护由一组元素构成的集合S的数据结构，每个元素都有一个相关的值，称为关键字，一个优先队列支持如下操作：
（1）INSERT(S, x)：把元素x插入S中；
（2）MAXIMUM(S)：返回S中具有最大关键字的元素；
（3）EXTRACT_MAX(S)：去掉并返回S中的具有最大关键字的元素；
（4）INCREASE(S, x, k)：将元素x的关键字值增加到k，假设k的值不小于x的原始关键字值。
代码实现：

 1 int Heap_Maximum(Heap_t *A) {
 2     return A->buf[1];
 3 }
 4 
 5 int Heap_Extract_MAX(Heap_t *A) {
 6     int max;
 7 
 8     if (A->size < 1) {
 9         printf("heap underflow.\n");
10         return -1;
11     }
12     max = A[1];
13     A[1] = A[A->size];
14     --A->size;
15     MAX_Heapify(A, 1);
16 
17     return max;
18 }
19 
20 void Heap_Increase_Key(Heap_t *A, int i, int key) {
21     int tmp;
22 
23     if (key < A->buf[i]) {
24         printf("new key is smaller than current key.\n");
25         return ;
26     }
27     A[i] = key;
28     while (i>1 && A->buf[PARENT(i)]<A->buf[i]) {
29         tmp = A->buf[i];
30         A->buf[i] = A->buf[PARENT(i)];
31         A->buf[PARENT(i)] = tmp;
32         i = PARENT(i);
33     }
34 }
35 
36 void MAX_Heap_Insert(Heap_t *A, key) {
37     ++A->size;
38     A[A->size] = NINF;  // NINF: negative infinite
39     Heap_Increase_Key(A, A->size, key);
40 }

6.5-6问题解答，即简单优化Heap_Increase_Key函数，代码实现如下：

 1 void Heap_Increase_Key(Heap_t *A, int i, int key) {
 2     if (key < A->buf[i]) {
 3         printf("new key is smaller than current key.\n");
 4         return ;
 5     }
 6 
 7     while (i>1 && A->buf[PARENT(i)]<key) {
 8         A->buf[i] = A->buf[PARENT(i)];
 9         i = PARENT(i);
10     }
11     A[i] = key;
12 }